六、逆矩阵

[逆矩阵及其性质] 若方阵A,B满足等式

AB=BA=I (I为单位矩阵)

则称A为B的逆矩阵，或称B为A的逆矩阵,记作

A= 或 B=

这时A,B都称为可逆矩阵（或非奇异矩阵，或满秩矩阵）.否则称为不可逆矩阵（或奇异矩阵，或降秩矩阵）.

可逆矩阵具有性质：

1° 若A,B为可逆矩阵，则AB仍为可逆矩阵，且

（反序定律）

一般地，若A₁ ,A₂ ,…,A_s为可逆矩阵，则

2° 矩阵A可逆的充分必要条件是：det A¹ 0.

3° 若矩阵A可逆，则

det¹ 0 且 det=(det

=A, (a¹ 0)

=()t ,

4° 矩阵A可逆的充分必要条件是：矩阵A的特征值全不为零.

[伴随矩阵与逆矩阵表达式] 设A_ij为矩阵A=(a_ij)的第i行第j列元素a_ij的代数余子式，则矩阵

A^*=

称为矩阵A的伴随矩阵.

若A为非奇异矩阵，即det A¹ 0,则A的逆矩阵表达式为

注意，A^*的第i行第j列元素是A的第j行第i列元素的代数余子式.

[对角矩阵的逆矩阵] 对角矩阵

D=, d_i¹ 0 (i=1,2,...,n)

的逆矩阵为

D^－1=

显然对角矩阵的逆矩阵仍是对角矩阵.

[三角形矩阵的逆矩阵] 三角形矩阵

L=,

的逆矩阵为

=P=

式中

(i=1,2,...,n)

显然非奇异下（上）三角形矩阵的逆矩阵仍是下（上）三角形矩阵.

[正定矩阵的逆矩阵]

1° 高斯-若当法

正定矩阵A=(a_ij)的逆A^－1=(b_ij)可由下列递推公式求出：

, ,

(k=1,2,...,n)

最后得到

式中n为该正定矩阵A的阶.

2° 三角阵法 其步骤如下：

（1） 把正定矩阵A=(a_ij)表示为

A=L DL t

式中D为实的非奇异对角矩阵

D=

L 为实的非奇异下三角矩阵.

L =

L t 是L 的转置矩阵.d_i(i=1,2,...,n)与l _ij(i=2,...,n;j=1,…,n)由下面递推公式算出：

（2）求出D的逆矩阵

=

（3）求出L 的逆矩阵

式中

（4）求出A的逆矩阵

=(L D=()t

=

式中

注意，这种方法的好处是避免了求平方根的运算.

[分块矩阵的逆矩阵] 设非奇异矩阵A的分块矩阵为

A=

式中B₁₁,B₂₂为方子阵，那末A的逆矩阵

A^－1=

由下面公式求出

[初等变换法求逆矩阵] 设

对矩阵

作一系列行的初等变换，使虚线左边一块矩阵化为单位矩阵，而右边一块单位矩阵就变为A的逆矩阵B=A^－1,即

[逆矩阵的近似求法] 设为矩阵A的初始近似逆矩阵，可由下列迭代公式求出更精确的逆矩阵：

(n=0,1,2,...)

式中I为与A同阶的单位矩阵.

[计算机求逆程序的检验矩阵] 用下列n阶非奇异矩阵及其逆矩阵，来检验大矩阵求逆的计算程序.

A=

=